persamaan kuadrat

2.1 Bentuk Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variable x adalah   dengan dan .  disebut koefisien ,  koefisien , dan  disebut koefisien. Menyelesaikan persamaan kuadrat artinya mencari bilangan pengganti variable (peubah) sehingga terjadi pernyataan yang benar, atau dengan kata lain mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh bentuk persamaan kuadarat :

1.    , maka a = 2, b = 8, c = 6

2.     , maka a = 3, b = 1 , c = -10

3.     , maka a = 5, b = 0, c = -27

2.2 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat digunakan beberapa cara yaitu :

Ø  Memfaktorkan

Ø  Melengkapkan bentuk kuadrat

Ø  Menggunakan rumus abc (rumus kuadrat)

1)    Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan

Untuk memfaktorkan bentuk , diperlukan nilai  dan  yang memenuhi   dan

Contoh :

 maka  = 2,  = -15

2)    Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat

Bentuk   = 0 dapat diubah menjadi  dengan   dan

                                                                             

             

Contoh :

            Tentukan akar – akar dari persamaan

            Jawab :

             

                                                                               

                                                 

                                     =

                                      =

   =    atau 

3)     Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat

Akar - akar persamaan kuadrat  = 0 dapat dirumuskan dengan

                       

Contoh :

Jawab :

Koefisien dari  adalah a = 1,koefisien dari  adalah b = 3,dan suku tetap c = -4

      

                                                                                                   

Maka  =   =        = 1    atau    =    =    =  - 4                                                      Jadi, penyelesaiannya adalah 1 dan -4 .                   

2.3 Jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar-akar  dan , maka jumlah akar-akarnya adalah  +  =  -  dan hasil kali akar-akarnya adalah .   =

Rumus Identitas :

        +  = (  +  )² – 2

       Contoh :

   1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya dari persamaan 2x² + 6x – 8 = 0

       Jawab :

·         Jumlah akar-akar  yaitu :  +  = -  = -3                                   

·         Hasil kali akar-akar yaitu :  =   = 4

    2. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat x² -2x – 2 = 0, tentukan nilai

         Dari :                                

a.      +    

b.     +  

 Jawab :

      +   = -   = -  = 2                           

  =  = -  = - 2

                                                     

a.     +  = (  +  )² - 2

                 = (2)² – 2 (-2)

                 =  4 + 4 = 8                

b.      +   =  

            =

             =    =   =   - 4

2.4 Jenis – jenis akar persamaan kuadrat

Jenis akar – akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diselidiki dengan menggunakan nilai diskriminan  , yaitu :

·         Jika D > 0 maka akar – akar real dan berbeda.

·         Jika D = 0 maka akar – akar real dan kembar.

·         Jika D < 0 maka akar – akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dahulu , tentukan jenis – jenis akar persamaan kuadrat berikut ini !

a.    2x² + x – 3 = 0

b.    9x² + 12x + 4 = 0

Jawab :

a.    2x + x – 3 = 0

a = 2 , b = 1 , dan c = - 3

D = b² – 4ac

   =

Karena  , jadi jenis akar persamaan kuadrat tersebut adalah nyata (real) dan berlainan .

b.    9x² + 12x + 4 = 0

a = 9 , b = 12 , dan c = 4

D = b² – 4ac

    = 12²  - ( 4.9.4 ) = 144 – 144 = 0

Karena D = 0 , Jadi jenis akar persamaan kuadrat tersebut adalah nyata (real) dan kembar .

2.5  Menyusun persamaan kuadrat

Perkalian faktor

Jika  dan adalah akar – akar persamaan kuadrat, maka rumus persamaan kuadrat tersebut adalah sebagai berikut :

                      

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya  2 dan  

       Jawab :

     

      ) = 0

       

 = 0

       

            Jadi , persamaan kuadratnya adalah

3.1 pengertian Pertidaksamaan Kuadrat

Definisi :

Pertidaksamaan kuadrat didefinisikan sebagai pertidaksamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi 2 (dua). Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

            

                    dengan a, b, dan c

                   

Contoh:

1.   

2.   

3.